Odgovor je 22.

Neka su dva broja x, i y.

Uvjeti su:

• Zbir kvadrata dva broja je 80.x² + y² = 80Kvadrat razlike između dva broja je 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Uzmite drugi uvjet i iznesite vrijednost za x².

• x²-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Zamijenite x² u prvom stanju s dobivenom vrijednošću.

• x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Dakle, proizvod dva broja (x, y) je 22.

Prvi uvjet:

$a^2+b^2=80$

Drugi uvjet:

$(a-b)^2=36$

Iz drugog uvjeta:

$a^2-2ab+b^2=36$

,

Zamjena prvog uvjeta:

$80-2ab=36$

, reorganizacija

$2ab=80-36=44$

Tako

$2ab=44$

i

$ab=22$

,

Odgovor: proizvod je 22.

U slučaju da želite riješiti cijeli sustav: razlika je

$\sqrt{36}=6$

, a proizvod je

$22$

, pa za

$a>b$

,

$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab$

, Dakle, ako dobijemo rješenja za

$x^2+6x-22=0$

možemo riješiti problem.

Rješenje za

$x^2+6x-22=0$

je

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}$

, Tako

$a=\sqrt{31}+3$

i

$b=\sqrt{31}-3$

,

Lako je dokazati da ova dva broja ispunjavaju uvjete pitanja i odgovora.

Prvi uvjet:

$a^2+b^2=80$

$\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3$

$(a-b)^2=36$

$31-9=22$

$a^2-2ab+b^2=36$

$-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3$

Zamjena prvog uvjeta:

$31–9=22$

, reorganizacija

$x^2+y^2=80$

Tako

$(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36$

i

$ab=22$

$2xy=44$

$xy = 22$

U slučaju da želite riješiti cijeli sustav: razlika je

$\sqrt{36}=6$

, a proizvod je

$22$

, pa za

$a>b$

,

$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab$

, Dakle, ako dobijemo rješenja za

$x^2+6x-22=0$

možemo riješiti problem.

Rješenje za

$x^2+6x-22=0$

je

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}$

, Tako

$a=\sqrt{31}+3$

i

$b=\sqrt{31}-3$

,

Lako je dokazati da ova dva broja ispunjavaju uvjete pitanja i odgovora.